関数 $y = e^{-x} \sin x$ の極大・極小、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y=f(x)$ の概形を描け。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x} \sin x$ の極大・極小、凹凸、変曲点を調べ、曲線 $y=f(x)$ の概形を描け。

2. 解き方の手順

(1) まず、$y'$ と $y''$ を計算する。

$y = e^{-x} \sin x$

$y' = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x} (\cos x - \sin x)$

$y'' = -e^{-x} (\cos x - \sin x) + e^{-x} (-\sin x - \cos x) = e^{-x} (-\cos x + \sin x - \sin x - \cos x) = -2 e^{-x} \cos x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$e^{-x} (\cos x - \sin x) = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、$\cos x - \sin x = 0$ となる $x$ を求める。

$\cos x = \sin x$

$\tan x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + n \pi$ (nは整数)

(3) $y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$-2 e^{-x} \cos x = 0$

$e^{-x} > 0$ なので、$\cos x = 0$ となる $x$ を求める。

$x = \frac{\pi}{2} + n \pi$ (nは整数)

(4) 増減表を作る。ただし、変曲点の候補である $x = \frac{\pi}{2} + n \pi$ も含めて考える。

| x | ... | $\frac{\pi}{4}$ | ... | $\frac{\pi}{2}$ | ... | $\frac{5\pi}{4}$ | ... | $\frac{3\pi}{2}$ | ... |

| -------------- | -------------------------- | -------------------------- | ------------------------ | -------------------------- | -------------------------- | -------------------------- | ------------------------ | -------------------------- |----- |

| y' | + | 0 | - | - | - | 0 | + | + | ... |

| y'' | + | + | + | 0 | - | - | - | 0 | ... |

| y | 増加,上に凸 | 極大 | 減少,上に凸 | 変曲点 | 減少,下に凸 | 極小 | 増加,下に凸 | 変曲点 | ... |

(5) 極大値、極小値を計算する。

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、 $y = e^{-\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ (極大)

$x = \frac{5\pi}{4}$ のとき、 $y = e^{-\frac{5\pi}{4}} \sin \frac{5\pi}{4} = e^{-\frac{5\pi}{4}} (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -e^{-\frac{5\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$ (極小)

(6) 変曲点の座標を計算する。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、 $y = e^{-\frac{\pi}{2}} \sin \frac{\pi}{2} = e^{-\frac{\pi}{2}}$

$x = \frac{3\pi}{2}$ のとき、 $y = e^{-\frac{3\pi}{2}} \sin \frac{3\pi}{2} = -e^{-\frac{3\pi}{2}}$

(7) 概形を描く。x が大きくなるにつれて、y は 0 に近づく。

3. 最終的な答え

極大値: $(\frac{\pi}{4}, e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2})$

極小値: $(\frac{5\pi}{4}, -e^{-\frac{5\pi}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2})$

変曲点: $(\frac{\pi}{2}, e^{-\frac{\pi}{2}})$, $(\frac{3\pi}{2}, -e^{-\frac{3\pi}{2}})$

グラフの概形: 上記の情報をもとにグラフを描く。x軸に漸近し、減衰振動する。