与えられた極限を求める問題です。 $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を求める問題です。

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\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}

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2. 解き方の手順

まず、$y = (1+x)^{\frac{1}{x}}$ とおき、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+x)$

$x \to 0$ のとき、 $\ln(1+x)$ をTaylor展開すると、

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

したがって、

$\ln y = \frac{1}{x}(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots$

次に、$y = e^{\ln y}$ となるので、

$y = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots}$

$e^u$ をTaylor展開すると、$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ となるので、

$y = e(1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots)^2}{2!} + \dots)$

$y = e(1 - \frac{x}{2} + O(x^2))$

$y = e - \frac{e}{2}x + O(x^2)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e - \frac{e}{2}x + O(x^2) - e}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{e}{2}x + O(x^2)}{x} = -\frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{e}{2}$