図1に示された第一象限にある半径1の円の4分の1の円弧の長さを、式(4)を用いて求める問題です。式(4)は $L = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$ で与えられています。円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ であり、この場合は $r=1$ となっています。図から、円弧はパラメータ $t$ を用いて $(x(t), y(t)) = (\sqrt{1-t^2}, t)$ と表されることがわかります。積分範囲は $t=0$ から $t=1$ です。

1. 問題の内容

図1に示された第一象限にある半径1の円の4分の1の円弧の長さを、式(4)を用いて求める問題です。式(4)は $L = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$ で与えられています。円の方程式は $x^2 + y^2 = r^2$ であり、この場合は $r=1$ となっています。図から、円弧はパラメータ $t$ を用いて $(x(t), y(t)) = (\sqrt{1-t^2}, t)$ と表されることがわかります。積分範囲は $t=0$ から $t=1$ です。

2. 解き方の手順

(1) $x(t)$ と $y(t)$ を $t$ で微分します。

$x(t) = \sqrt{1-t^2}$ より、

$x'(t) = \frac{d}{dt} \sqrt{1-t^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}} (-2t) = \frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}$

$y(t) = t$ より、

$y'(t) = \frac{d}{dt} t = 1$

(2) $x'(t)^2 + y'(t)^2$ を計算します。

$x'(t)^2 + y'(t)^2 = \left(\frac{-t}{\sqrt{1-t^2}}\right)^2 + 1^2 = \frac{t^2}{1-t^2} + 1 = \frac{t^2 + (1-t^2)}{1-t^2} = \frac{1}{1-t^2}$

(3) $\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}$ を計算します。

$\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} = \sqrt{\frac{1}{1-t^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$

(4) 積分 $L = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$ を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \arcsin(t) + C$

したがって、

$L = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$