関数 $f(x) = \sin^{-1}x$ の1次、2次、3次、4次導関数を求め、マクローリンの定理を $n=3$ で適用せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sin^{-1}x$ の1次、2次、3次、4次導関数を求め、マクローリンの定理を $n=3$ で適用せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を順に計算します。

$f(x) = \sin^{-1}x$

1次導関数:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2次導関数:

$f''(x) = \frac{d}{dx} (1-x^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-3/2} (-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

3次導関数:

$f'''(x) = \frac{d}{dx} x(1-x^2)^{-3/2} = (1-x^2)^{-3/2} + x(-\frac{3}{2})(1-x^2)^{-5/2}(-2x) = (1-x^2)^{-3/2} + 3x^2(1-x^2)^{-5/2} = \frac{1-x^2+3x^2}{(1-x^2)^{5/2}} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}}$

4次導関数:

$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx} (1+2x^2)(1-x^2)^{-5/2} = 4x(1-x^2)^{-5/2} + (1+2x^2)(-\frac{5}{2})(1-x^2)^{-7/2}(-2x) = 4x(1-x^2)^{-5/2} + 5x(1+2x^2)(1-x^2)^{-7/2} = \frac{4x(1-x^2) + 5x(1+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{4x-4x^3 + 5x+10x^3}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{9x+6x^3}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{3x(3+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}}$

次に、マクローリンの定理を $n=3$ で適用します。マクローリン展開は

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + R_3(x)$

ここで、$R_3(x)$ は剰余項です。

各導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \sin^{-1}(0) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} = 1$

$f''(0) = \frac{0}{(1-0^2)^{3/2}} = 0$

$f'''(0) = \frac{1+2(0)^2}{(1-0^2)^{5/2}} = 1$

したがって、マクローリン展開は

$f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + R_3(x) = x + \frac{1}{6}x^3 + R_3(x)$

3. 最終的な答え

1次導関数: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2次導関数: $f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

3次導関数: $f'''(x) = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}}$

4次導関数: $f^{(4)}(x) = \frac{3x(3+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}}$

マクローリン展開 ($n=3$): $f(x) = x + \frac{1}{6}x^3 + R_3(x)$