問題は以下の2つの部分から構成されています。 (1) $y = \sinh x$ が $(-\infty, \infty)$ で逆関数を持つことを示す。 (2) $x = \sinh^{-1} y$ と表される $y = \sinh x$ の逆関数 $\sinh^{-1} x$ の導関数、つまり $\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x$ を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されています。

(1) $y = \sinh x$ が $(-\infty, \infty)$ で逆関数を持つことを示す。

(2) $x = \sinh^{-1} y$ と表される $y = \sinh x$ の逆関数 $\sinh^{-1} x$ の導関数、つまり $\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sinh x$ が $(-\infty, \infty)$ で逆関数を持つことを示す。

$\sinh x$ の定義は、

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

です。

$\sinh x$ の導関数を求めると、

$\frac{d}{dx} \sinh x = \frac{d}{dx} (\frac{e^x - e^{-x}}{2}) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$

となります。

$\cosh x$ は常に正の値を取ります。なぜなら、

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x + \frac{1}{e^x}}{2} = \frac{e^{2x} + 1}{2e^x}$

であり、$e^{2x} > 0$ かつ $e^x > 0$ なので、$\cosh x > 0$ です。

$\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x > 0$ であることから、$\sinh x$ は単調増加関数であり、$(-\infty, \infty)$ で逆関数を持つことがわかります。

(2) $\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x$ を求める。

$y = \sinh^{-1} x$ とします。

すると、$x = \sinh y$ となります。

両辺を $x$ で微分すると、

$1 = \frac{d}{dx} \sinh y = \cosh y \cdot \frac{dy}{dx}$

となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cosh y}$

となります。

$\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ より、$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ なので、

$\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y}$

となります。（$\cosh y$ は常に正なので、正の平方根をとります。）

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 y}}$

となります。

ここで、$x = \sinh y$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

となります。

よって、

$\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \sinh^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$