ベクトル関数 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ が与えられたとき、次の等式が成り立つことを証明します。 $(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ が与えられたとき、次の等式が成り立つことを証明します。

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

2. 解き方の手順

積の微分法則を用いて、左辺 $(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')'$ を展開します。

ベクトル関数の積の微分法則は、通常の関数の積の微分法則と同様に適用できます。

すなわち、$\frac{d}{dt}(\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)) = \frac{d\mathbf{a}}{dt} \times \mathbf{b}(t) + \mathbf{a}(t) \times \frac{d\mathbf{b}}{dt}$ が成り立ちます。

この法則を用いて、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')'$ を計算します。

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r}' \times \mathbf{r}' + \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

ここで、$\mathbf{r}' \times \mathbf{r}' = \mathbf{0}$ です。なぜなら、ベクトル $\mathbf{r}'$ と $\mathbf{r}'$ の外積は、同じベクトル同士の外積なので、ゼロベクトルになるからです。したがって、

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{0} + \mathbf{r} \times \mathbf{r}'' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

よって、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$