与えられた極限 $\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を変形して、以下の形にする。

$\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$

次に、求める極限を変形する。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開を思い出す。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ...$

この展開を上の式に代入すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...)}{x (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + ...}{x^2 - \frac{x^3}{2} + ...} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + ...}{1 - \frac{x}{2} + ...}$

$x \to 0$ のとき、上記の極限は $\frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$ となる。

別の解法として、ロピタルの定理を用いることができる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるから、ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x}}{\log(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{\log(1+x) + \frac{x}{1+x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\log(1+x) + x}$

再度ロピタルの定理を適用する。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\log(1+x) + 1 + x/(1+x) + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\log(1+x) + 2 + x/(1+x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\log(1+x) + 2 + x/(1+x)} = \frac{1}{0 + 2 + 0} = \frac{1}{2}$

別の解法として、$e^a$のマクローリン展開を利用する。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x-\log(1+x)}{x\log(1+x)}$

$x$を$e^a-1$で置き換えると、$x\to 0$は$a\to 0$に相当する。すると$\log(1+x)=a$となる。

$\lim_{a\to 0} \frac{e^a-1 - a}{(e^a-1)a}=\lim_{a\to 0} \frac{e^a-1-a}{a^2}\frac{a}{(e^a-1)/a} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$