10. ベクトル関数 $\mathbf{a}(t) = (3t, t^2 - 1, 1)$ と $\mathbf{b}(t) = (1, t+2, -t^2)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。 (a) $\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) \}'$ (b) $\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) \}'$ 11. ベクトル関数 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ が与えられたとき、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ を証明します。

1. 問題の内容

1

0. ベクトル関数 $\mathbf{a}(t) = (3t, t^2 - 1, 1)$ と $\mathbf{b}(t) = (1, t+2, -t^2)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

(a) $\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) \}'$

(b) $\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) \}'$

1

1. ベクトル関数 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ が与えられたとき、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ を証明します。

2. 解き方の手順

1

0. (a) まず、$\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)$ を計算します。

$\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) = (3t)(1) + (t^2 - 1)(t+2) + (1)(-t^2) = 3t + t^3 + 2t^2 - t - 2 - t^2 = t^3 + t^2 + 2t - 2$

次に、これを $t$ で微分します。

$\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) \}' = \frac{d}{dt} (t^3 + t^2 + 2t - 2) = 3t^2 + 2t + 2$

1

0. (b) まず、$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)$ を計算します。

$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3t & t^2 - 1 & 1 \\ 1 & t+2 & -t^2 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} t^2 - 1 & 1 \\ t+2 & -t^2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 3t & 1 \\ 1 & -t^2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3t & t^2 - 1 \\ 1 & t+2 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} ((-t^2)(t^2 - 1) - (1)(t+2)) - \mathbf{j} ((3t)(-t^2) - (1)(1)) + \mathbf{k} ((3t)(t+2) - (1)(t^2 - 1))$

$= \mathbf{i} (-t^4 + t^2 - t - 2) - \mathbf{j} (-3t^3 - 1) + \mathbf{k} (3t^2 + 6t - t^2 + 1)$

$= (-t^4 + t^2 - t - 2) \mathbf{i} + (3t^3 + 1) \mathbf{j} + (2t^2 + 6t + 1) \mathbf{k}$

$= (-t^4 + t^2 - t - 2, 3t^3 + 1, 2t^2 + 6t + 1)$

次に、これを $t$ で微分します。

$\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) \}' = \frac{d}{dt} (-t^4 + t^2 - t - 2, 3t^3 + 1, 2t^2 + 6t + 1) = (-4t^3 + 2t - 1, 9t^2, 4t + 6)$

1

1. $(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r}' \times \mathbf{r}' + \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ (積の微分法則より)

$\mathbf{r}' \times \mathbf{r}' = \mathbf{0}$ (同じベクトルの外積はゼロ)

したがって、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

1

0. (a) $3t^2 + 2t + 2$

1

0. (b) $(-4t^3 + 2t - 1, 9t^2, 4t + 6)$

1

1. $(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ (証明終わり)