放物線 $y = x^2$ 上の点 $A(-2, 4)$ における接線を $l$、点 $B(3, 9)$ における接線を $m$ とする。 - 直線 $l$ の方程式を求め、直線 $m$ の方程式を求める。 - 放物線 $y = -x^2 - ax - b$ が点 $A$ で直線 $l$ に接するとき、$a$ と $b$ の値を求める。 - 放物線 $y = -x^2 + cx - d$ が点 $B$ で直線 $m$ に接するとき、$c$ と $d$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点 $A(-2, 4)$ における接線を $l$、点 $B(3, 9)$ における接線を $m$ とする。

- 直線 $l$ の方程式を求め、直線 $m$ の方程式を求める。

- 放物線 $y = -x^2 - ax - b$ が点 $A$ で直線 $l$ に接するとき、$a$ と $b$ の値を求める。

- 放物線 $y = -x^2 + cx - d$ が点 $B$ で直線 $m$ に接するとき、$c$ と $d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- 放物線 $y = x^2$ の導関数は $y' = 2x$。

- 点 $A(-2, 4)$ における接線 $l$ の傾きは $y'(-2) = 2(-2) = -4$。

- 接線 $l$ の方程式は $y - 4 = -4(x - (-2))$ より、$y = -4x - 8 + 4$。よって、$y = -4x - 4$。

- 点 $B(3, 9)$ における接線 $m$ の傾きは $y'(3) = 2(3) = 6$。

- 接線 $m$ の方程式は $y - 9 = 6(x - 3)$ より、$y = 6x - 18 + 9$。よって、$y = 6x - 9$。

(2)

- 放物線 $y = -x^2 - ax - b$ が点 $A(-2, 4)$ で直線 $l$ に接するとき、$x = -2$ を代入すると、$4 = -(-2)^2 - a(-2) - b$ より、$4 = -4 + 2a - b$。よって、$2a - b = 8$。

- $y = -x^2 - ax - b$ の導関数は $y' = -2x - a$。点 $A(-2, 4)$ における接線の傾きは $-2(-2) - a = 4 - a$。

- これは直線 $l$ の傾き $-4$ に等しいので、$4 - a = -4$ より、$a = 8$。

- $2a - b = 8$ に $a = 8$ を代入すると、$2(8) - b = 8$ より、$16 - b = 8$。よって、$b = 8$。

(3)

- 放物線 $y = -x^2 + cx - d$ が点 $B(3, 9)$ で直線 $m$ に接するとき、$x = 3$ を代入すると、$9 = -(3)^2 + c(3) - d$ より、$9 = -9 + 3c - d$。よって、$3c - d = 18$。

- $y = -x^2 + cx - d$ の導関数は $y' = -2x + c$。点 $B(3, 9)$ における接線の傾きは $-2(3) + c = -6 + c$。

- これは直線 $m$ の傾き $6$ に等しいので、$-6 + c = 6$ より、$c = 12$。

- $3c - d = 18$ に $c = 12$ を代入すると、$3(12) - d = 18$ より、$36 - d = 18$。よって、$d = 18$。

3. 最終的な答え

$l$ の方程式：$y = -4x - 4$

$m$ の方程式：$y = 6x - 9$

$a = 8$

$b = 8$

$c = 12$

$d = 18$