問題は、関数 $y = \sqrt{x}$ の $n$ 次導関数を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = \sqrt{x}$ の $n$ 次導関数を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ と書き換えます。

次に、何回か微分して、規則性を見つけます。

1階微分:

$y' = \frac{1}{2} x^{-1/2}$

2階微分:

$y'' = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) x^{-3/2} = -\frac{1}{4} x^{-3/2}$

3階微分:

$y''' = -\frac{1}{4} (-\frac{3}{2}) x^{-5/2} = \frac{3}{8} x^{-5/2}$

4階微分:

$y'''' = \frac{3}{8} (-\frac{5}{2}) x^{-7/2} = -\frac{15}{16} x^{-7/2}$

一般化すると、

$y^{(n)} = (\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) \cdots (\frac{1}{2} - (n-1)) x^{\frac{1}{2} - n}$

これは、$y^{(n)} = (\frac{1}{2})(\frac{-1}{2})(\frac{-3}{2})...(\frac{1-2(n-1)}{2})x^{\frac{1}{2}-n}$ とも書けます。

$y^{(n)} = \frac{1}{2^n}(1)(-1)(-3)...(3-2n)x^{\frac{1-2n}{2}}$

別の表し方として、階乗を用いて表現することを考えます。

$y^{(n)} = (\frac{1}{2})(\frac{-1}{2})(\frac{-3}{2})...(\frac{1-2(n-1)}{2})x^{\frac{1}{2}-n}$

$= (\frac{1}{2^n})(1)(-1)(-3)...(3-2n)x^{\frac{1-2n}{2}}$

$= \frac{(-1)^{n-1}}{2^n} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3) x^{\frac{1-2n}{2}}$

ここで、$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3) = \frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!}$ という関係式を利用します。

したがって、

$y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n} \frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!} x^{\frac{1-2n}{2}}$

$y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!} x^{\frac{1-2n}{2}}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!} x^{\frac{1-2n}{2}}$