ベクトル関数 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ に対して、以下の等式を証明します。 $(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

1. 問題の内容

ベクトル関数 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ に対して、以下の等式を証明します。

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

2. 解き方の手順

ベクトルの外積の微分に関する公式を利用します。すなわち、$\mathbf{u}(t)$ と $\mathbf{v}(t)$ をベクトル関数とするとき、

$(\mathbf{u} \times \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{v}'$

が成り立ちます。

この公式を$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')'$ に適用すると、

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r}' \times \mathbf{r}' + \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

となります。

ここで、同一のベクトル同士の外積はゼロベクトルになるという性質、すなわち$\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}$を利用すると、$\mathbf{r}' \times \mathbf{r}' = \mathbf{0}$となるため、

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{0} + \mathbf{r} \times \mathbf{r}'' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

が得られます。

3. 最終的な答え

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$

(証明終わり)