問題は、$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ を求める問題です。ただし、$\lim_{a \to +0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いることが指示されています。

1. 問題の内容

問題は、$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x})$ を求める問題です。ただし、$\lim_{a \to +0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$ を用いることが指示されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の式を整理します。

$\lim_{x \to +0} (\frac{1}{\log(1+x)} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)}$

ここで、ロピタルの定理を使うことを考えます。$x \to 0$ で分子も分母も0に近づくため、不定形となっています。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ であることを利用します。

与えられた極限の式を $x$ でテイラー展開することを考えます。$\log(1+x)$ のテイラー展開を利用して、

$x - \log(1+x) = x - (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \dots$

また、$x\log(1+x) = x(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \dots$

したがって、

$\lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x \log(1+x)} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \dots}{x^2 - \frac{x^3}{2} + \dots}$

分子と分母を$x^2$で割ると、

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{2} - \frac{x}{3} + \dots}{1 - \frac{x}{2} + \dots} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$

次に、$e^a = 1 + a + \frac{a^2}{2!} + \frac{a^3}{3!} + \dots$ を用いると、

$e^a - 1 - a = \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{6} + \dots$

$\frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2} + \frac{a}{6} + \dots$

$\lim_{a \to 0} \frac{e^a - 1 - a}{a^2} = \frac{1}{2}$

これは問題文で与えられています。

$\lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x\log(1+x)} = \lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x(x-\frac{x^2}{2}+O(x^3))}=\lim_{x \to +0} \frac{x - \log(1+x)}{x^2-\frac{x^3}{2}+O(x^4))}$

$x - \log(1+x) = x - (x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+O(x^5))) = \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+O(x^5))$

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...}{x^2-\frac{x^3}{2}+...} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{2}-\frac{x}{3}+...}{1-\frac{x}{2}+...}=\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$