はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問題9**

ベクトル $\mathbf{a} = (3t, t-2, t^2)$ と $\mathbf{b} = (\cos 2t, \sin 2t, 1)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

(a) $\frac{d\mathbf{a}}{dt}$

(b) $\frac{d\mathbf{b}}{dt}$

(c) $\left|\frac{d\mathbf{b}}{dt}\right|$

(d) $\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

**解き方の手順**

(a) $\mathbf{a}$ の各成分を $t$ で微分します。

$$\frac{d\mathbf{a}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(3t), \frac{d}{dt}(t-2), \frac{d}{dt}(t^2)\right)$$

$$\frac{d\mathbf{a}}{dt} = (3, 1, 2t)$$

(b) $\mathbf{b}$ の各成分を $t$ で微分します。

$$\frac{d\mathbf{b}}{dt} = \left(\frac{d}{dt}(\cos 2t), \frac{d}{dt}(\sin 2t), \frac{d}{dt}(1)\right)$$

$$\frac{d\mathbf{b}}{dt} = (-2\sin 2t, 2\cos 2t, 0)$$

(c) $\frac{d\mathbf{b}}{dt}$ の絶対値を計算します。

$$\left|\frac{d\mathbf{b}}{dt}\right| = \sqrt{(-2\sin 2t)^2 + (2\cos 2t)^2 + 0^2}$$

$$\left|\frac{d\mathbf{b}}{dt}\right| = \sqrt{4\sin^2 2t + 4\cos^2 2t}$$

$$\left|\frac{d\mathbf{b}}{dt}\right| = \sqrt{4(\sin^2 2t + \cos^2 2t)}$$

$$\left|\frac{d\mathbf{b}}{dt}\right| = \sqrt{4} = 2$$

(d) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ を計算し、それを $t$ で微分します。

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3t)(\cos 2t) + (t-2)(\sin 2t) + (t^2)(1)$$

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3t\cos 2t + t\sin 2t - 2\sin 2t + t^2$$

$$\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \frac{d}{dt}(3t\cos 2t + t\sin 2t - 2\sin 2t + t^2)$$

$$\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 3\cos 2t - 6t\sin 2t + \sin 2t + 2t\cos 2t - 4\cos 2t + 2t$$

$$\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = -\cos 2t - 6t\sin 2t + \sin 2t + 2t\cos 2t + 2t$$

**最終的な答え**

(a) $\frac{d\mathbf{a}}{dt} = (3, 1, 2t)$

(b) $\frac{d\mathbf{b}}{dt} = (-2\sin 2t, 2\cos 2t, 0)$

(c) $\left|\frac{d\mathbf{b}}{dt}\right| = 2$

(d) $\frac{d}{dt}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = -\cos 2t - 6t\sin 2t + \sin 2t + 2t\cos 2t + 2t$

**問題10**

ベクトル関数 $\mathbf{a}(t) = (3t, t^2-1, 1)$ と $\mathbf{b}(t) = (1, t+2, -t^2)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

(a) $\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)\}'$

(b) $\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)\}'$

**解き方の手順**

(a) $\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)$ を計算し、それを $t$ で微分します。

$$\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) = (3t)(1) + (t^2-1)(t+2) + (1)(-t^2)$$

$$\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) = 3t + t^3 + 2t^2 - t - 2 - t^2$$

$$\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t) = t^3 + t^2 + 2t - 2$$

$$\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)\}' = \frac{d}{dt}(t^3 + t^2 + 2t - 2)$$

$$\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)\}' = 3t^2 + 2t + 2$$

(b) $\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)$ を計算し、それを $t$ で微分します。

$$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3t & t^2-1 & 1 \\ 1 & t+2 & -t^2 \end{vmatrix}$$

$$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) = \mathbf{i}((t^2-1)(-t^2) - (1)(t+2)) - \mathbf{j}((3t)(-t^2) - (1)(1)) + \mathbf{k}((3t)(t+2) - (1)(t^2-1))$$

$$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) = \mathbf{i}(-t^4 + t^2 - t - 2) - \mathbf{j}(-3t^3 - 1) + \mathbf{k}(3t^2 + 6t - t^2 + 1)$$

$$\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t) = (-t^4 + t^2 - t - 2, 3t^3 + 1, 2t^2 + 6t + 1)$$

$$\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)\}' = \frac{d}{dt}(-t^4 + t^2 - t - 2, 3t^3 + 1, 2t^2 + 6t + 1)$$

$$\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)\}' = (-4t^3 + 2t - 1, 9t^2, 4t + 6)$$

**最終的な答え**

(a) $\{\mathbf{a}(t) \cdot \mathbf{b}(t)\}' = 3t^2 + 2t + 2$

(b) $\{\mathbf{a}(t) \times \mathbf{b}(t)\}' = (-4t^3 + 2t - 1, 9t^2, 4t + 6)$

**問題11**

$\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ が $t$ のベクトル関数であるとき、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ が成り立つことを証明します。

**解き方の手順**

積の微分法則を用いて、$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')'$ を展開します。

$$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r}' \times \mathbf{r}' + \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$$

ベクトル $\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'$ は、同じベクトル同士の外積なので、ゼロベクトルになります。

$$\mathbf{r}' \times \mathbf{r}' = \mathbf{0}$$

したがって、

$$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{0} + \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$$

$$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$$

**最終的な答え**

$(\mathbf{r} \times \mathbf{r}')' = \mathbf{r} \times \mathbf{r}''$ が証明されました。