画像には以下の数学の問題が含まれています。 * (2) $(x^2 \cdot \log x)' =$ * 問2 (1) 関数 $f(x) = e^x \log x$ を微分せよ。 * (2) $y = f(x) = e^x \log x$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。 * 問3 (1) 関数 $g(x) = \frac{\log x}{x}$ を微分せよ。 * (2) $y = g(x) = \frac{\log x}{x}$ のグラフ上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。

## 画像に写っている数学の問題の解答

1. 問題の内容

画像には以下の数学の問題が含まれています。

* (2) $(x^2 \cdot \log x)' =$

* 問2 (1) 関数 $f(x) = e^x \log x$ を微分せよ。

* (2) $y = f(x) = e^x \log x$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。

* 問3 (1) 関数 $g(x) = \frac{\log x}{x}$ を微分せよ。

* (2) $y = g(x) = \frac{\log x}{x}$ のグラフ上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

* **(2) $(x^2 \cdot \log x)' =$**

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x^2$, $v = \log x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{x}$ です。

したがって、

$(x^2 \cdot \log x)' = (x^2)' \cdot \log x + x^2 \cdot (\log x)' = 2x \cdot \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x$

* **問2 (1) 関数 $f(x) = e^x \log x$ を微分せよ。**

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = e^x$, $v = \log x$ とすると、$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{x}$ です。

したがって、

$f'(x) = (e^x \log x)' = (e^x)' \cdot \log x + e^x \cdot (\log x)' = e^x \log x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$

* **(2) $y = f(x) = e^x \log x$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。**

接線の方程式は $y - f(1) = f'(1)(x-1)$ で与えられます。

まず、$f(1) = e^1 \log 1 = e \cdot 0 = 0$ です。

次に、$f'(x) = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$ より、$f'(1) = e^1 \log 1 + \frac{e^1}{1} = e \cdot 0 + e = e$ です。

したがって、接線の方程式は $y - 0 = e(x-1)$, つまり $y = ex - e$ です。

* **問3 (1) 関数 $g(x) = \frac{\log x}{x}$ を微分せよ。**

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$u = \log x$, $v = x$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 1$ です。

したがって、

$g'(x) = (\frac{\log x}{x})' = \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* **(2) $y = g(x) = \frac{\log x}{x}$ のグラフ上の点 $(e^3, g(e^3))$ における接線の方程式を求めよ。**

接線の方程式は $y - g(e^3) = g'(e^3)(x - e^3)$ で与えられます。

まず、$g(e^3) = \frac{\log e^3}{e^3} = \frac{3}{e^3}$ です。

次に、$g'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$ より、$g'(e^3) = \frac{1 - \log e^3}{(e^3)^2} = \frac{1 - 3}{e^6} = \frac{-2}{e^6}$ です。

したがって、接線の方程式は $y - \frac{3}{e^3} = \frac{-2}{e^6}(x - e^3)$, つまり $y = \frac{-2}{e^6}x + \frac{2}{e^3} + \frac{3}{e^3} = \frac{-2}{e^6}x + \frac{5}{e^3}$ です。

3. 最終的な答え

* (2) $(x^2 \cdot \log x)' = 2x \log x + x$

* 問2 (1) $f'(x) = e^x \log x + \frac{e^x}{x}$

* (2) $y = ex - e$

* 問3 (1) $g'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* (2) $y = -\frac{2}{e^6}x + \frac{5}{e^3}$