$k>1$とし、曲線$y=e^{-kx^2}$を$C$とする。 (1) 曲線$C$上の点$(x_0, e^{-kx_0^2})$における法線が原点を通るような$x_0$をすべて求めよ。 (2) 曲線$C$上の点における法線で、原点を通り、傾きが1のものがあるとする。このとき、定数$k$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$k>1$とし、曲線$y=e^{-kx^2}$を$C$とする。

(1) 曲線$C$上の点$(x_0, e^{-kx_0^2})$における法線が原点を通るような$x_0$をすべて求めよ。

(2) 曲線$C$上の点における法線で、原点を通り、傾きが1のものがあるとする。このとき、定数$k$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y=e^{-kx^2}$を微分して、$y'$を求める。

$y' = e^{-kx^2} \cdot (-2kx) = -2kxe^{-kx^2}$

点$(x_0, e^{-kx_0^2})$における接線の傾きは、$y'(x_0) = -2kx_0e^{-kx_0^2}$である。

法線の傾きは、接線の傾きの逆数に-1をかけたものであるから、$\frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}}$となる。

したがって、法線の方程式は、

$y - e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} (x - x_0)$

この法線が原点(0,0)を通るので、

$0 - e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} (0 - x_0)$

$-e^{-kx_0^2} = \frac{-x_0}{2kx_0e^{-kx_0^2}}$

$1 = \frac{1}{2kx_0^2}$

$2kx_0^2 = 1$

$x_0^2 = \frac{1}{2k}$

$x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

ただし、$x_0=0$のときは、法線の傾きが定義できないため除外する。$x_0=0$のとき、$y'=0$となるので法線はx軸に垂直になり、$x=x_0$となるから原点を通らない。

(2)

(1)より、$x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$である。

法線の傾きが1であるから、

$\frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} = 1$

$1 = 2kx_0e^{-kx_0^2}$

$x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$を代入すると、

$1 = 2k (\pm \frac{1}{\sqrt{2k}}) e^{-k (\frac{1}{2k})}$

$1 = \pm \sqrt{2k} e^{-\frac{1}{2}}$

$1 = \sqrt{2k} e^{-\frac{1}{2}}$（$\because k>0$）

$\sqrt{2k} = e^{\frac{1}{2}}$

$2k = e$

$k = \frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

(2) $k = \frac{e}{2}$