問題は、以下の2つの関数について、マクローリン展開を求めることです。 (1) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ (2) $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの関数について、マクローリン展開を求めることです。

(1) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

(2) $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を原点（$x=0$）におけるテイラー展開で近似するものです。関数のマクローリン展開は、以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

ここで、$f^{(n)}(0)$ は関数 $f(x)$ の $n$ 次導関数を $x=0$ で評価した値です。

(1) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開

まず、$e^x$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

次に、$e^{-x}$ のマクローリン展開は、$e^x$ の展開の $x$ を $-x$ に置き換えることで得られます。

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sinh x$ のマクローリン展開は、これらの差の半分です。

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \right)$

$\sinh x = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n - (-x)^n}{n!}$

$n$ が偶数の場合、$x^n - (-x)^n = x^n - x^n = 0$ となります。

$n$ が奇数の場合、$x^n - (-x)^n = x^n - (-1)^n x^n = x^n - (-1) x^n = 2x^n$ となります。

したがって、$n = 2k+1$ とおくと、

$\sinh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

(2) $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \right)$

$\cosh x = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n + (-x)^n}{n!}$

$n$ が奇数の場合、$x^n + (-x)^n = x^n - x^n = 0$ となります。

$n$ が偶数の場合、$x^n + (-x)^n = x^n + x^n = 2x^n$ となります。

したがって、$n = 2k$ とおくと、

$\cosh x = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2x^{2k}}{(2k)!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $\sinh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

(2) $\cosh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$