関数 $f(x) = x^3 \log x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。ただし、$n \geq 4$とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 \log x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。ただし、$n \geq 4$とします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つけます。

$f(x) = x^3 \log x$

$f'(x) = 3x^2 \log x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \log x + x^2$

$f''(x) = 6x \log x + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = 6x \log x + 3x + 2x = 6x \log x + 5x$

$f'''(x) = 6 \log x + 6x \cdot \frac{1}{x} + 5 = 6 \log x + 6 + 5 = 6 \log x + 11$

$f^{(4)}(x) = \frac{6}{x}$

$f^{(5)}(x) = -\frac{6}{x^2}$

$f^{(6)}(x) = \frac{6 \cdot 2}{x^3}$

$f^{(7)}(x) = -\frac{6 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}$

一般に、$n \geq 4$ に対して、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-4} \frac{6 \cdot (n-4)!}{x^{n-3}} = (-1)^{n-4} \frac{3! (n-4)!}{x^{n-3}}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-4} \frac{3!}{x^{n-3}} (n-4)! = (-1)^{n-4} \frac{6(n-4)!}{x^{n-3}}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-4} \frac{6(n-4)!}{x^{n-3}}$ ($n \geq 4$)