与えられた極限値をマクローリン展開を用いて求める問題です。具体的には、 $\lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} \right)$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた極限値をマクローリン展開を用いて求める問題です。具体的には、

$\lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} \right)$

の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン展開を求めます。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

$\sin^2 x$ を展開します。

$\sin^2 x = \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots \right)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots$

$\frac{1}{\sin^2 x}$ を展開します。

$\frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{45} - \dots}$

$\frac{1}{1-y} = 1 + y + y^2 + \dots$ を用いて展開します。 ($y = \frac{x^2}{3} - \frac{2x^4}{45} + \dots$ )

$\frac{1}{1 - \frac{x^2}{3} + \frac{2x^4}{45} - \dots} = 1 + \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x^4}{45} + \dots \right) + \left( \frac{x^2}{3} - \frac{2x^4}{45} + \dots \right)^2 + \dots$

$= 1 + \frac{x^2}{3} - \frac{2x^4}{45} + \frac{x^4}{9} + O(x^6) = 1 + \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{15} + O(x^6)$

したがって、

$\frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{x^2} \left( 1 + \frac{x^2}{3} + \frac{x^4}{15} + O(x^6) \right) = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{3} + \frac{x^2}{15} + O(x^4)$

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) = \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{3} + \frac{x^2}{15} + O(x^4) \right) \right)$

$= \lim_{x\to 0} \left( -\frac{1}{3} - \frac{x^2}{15} + O(x^4) \right) = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}$