関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開を求める。

1. 問題の内容

関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ のマクローリン展開を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したもので、以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

まず、$e^x$ と $e^{-x}$ のマクローリン展開を求めます。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

次に、$e^x - e^{-x}$ を計算します。

$e^x - e^{-x} = (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots) - (1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots) = 2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \cdots = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

最後に、$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を計算します。

$\sinh x = \frac{1}{2} (e^x - e^{-x}) = \frac{1}{2} (2x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \cdots) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

3. 最終的な答え

$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots$