問題は、双曲線余弦関数 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $x = a$ におけるテイラー展開を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、双曲線余弦関数 $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の $x = a$ におけるテイラー展開を求めることです。

2. 解き方の手順

テイラー展開の公式は以下の通りです。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$

ここで、$f(x) = \cosh x$ です。 まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$f'(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$f''(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$f'''(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$f^{(4)}(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

一般に、$f^{(n)}(x)$ は $n$ が偶数のとき $\cosh x$ であり、$n$ が奇数のとき $\sinh x$ です。

したがって、$f^{(n)}(a)$ は $n$ が偶数のとき $\cosh a$ であり、$n$ が奇数のとき $\sinh a$ です。

テイラー展開の公式に代入します。

$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cosh a}{ (2n)! } (x-a)^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\sinh a}{(2n+1)!} (x-a)^{2n+1}$

$\cosh x = \cosh a \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (x-a)^{2n}}{(2n)! } + \sinh a \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = \cosh a \left( 1 + \frac{(x-a)^2}{2!} + \frac{(x-a)^4}{4!} + \dots \right) + \sinh a \left( (x-a) + \frac{(x-a)^3}{3!} + \frac{(x-a)^5}{5!} + \dots \right)$

3. 最終的な答え

$\cosh x = \cosh a \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{2n}}{(2n)!} + \sinh a \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-a)^{2n+1}}{(2n+1)!}$