与えられた積分 $\int \frac{1}{4x^2 + 1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{4x^2 + 1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を扱いやすい形に変形します。

$4x^2 + 1$ の形に注目して、逆正接関数（arctan）の積分形に帰着させることを考えます。

$4x^2 + 1 = (2x)^2 + 1$ であることから、 $u = 2x$ と置換すると、 $du = 2 dx$ となります。

したがって、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

積分を置換すると、

$\int \frac{1}{4x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{u^2 + 1} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} du$

$\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$ (Cは積分定数)

$u = 2x$ を代入して、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} du = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \arctan(2x) + C$