次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。 (1) $y = |x| \sqrt{2-x^2}$ (2) $y = x^x$ ($x>0$) (3) $y = \frac{\sin x}{4 + \cos x}$ ($0 \le x \le \pi$)

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。

(1) $y = |x| \sqrt{2-x^2}$

(2) $y = x^x$ ($x>0$)

(3) $y = \frac{\sin x}{4 + \cos x}$ ($0 \le x \le \pi$)

2. 解き方の手順

(1) $y = |x| \sqrt{2-x^2}$

まず、定義域を確認します。根号の中は0以上なので、$2 - x^2 \ge 0$。よって、$x^2 \le 2$ より $-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.

$x \ge 0$ のとき、$y = x \sqrt{2-x^2}$

$x < 0$ のとき、$y = -x \sqrt{2-x^2}$

$x \ge 0$の場合:

$y' = \sqrt{2-x^2} + x \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = \sqrt{2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2-x^2-x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2-2x^2}{\sqrt{2-x^2}}$

$y' = 0$ となるのは $2 - 2x^2 = 0$ のとき。$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$。$x \ge 0$ なので $x = 1$。

増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | 1 | ... | $\sqrt{2}$ |

| ----- | - | --- | - | --- | ---------- |

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↑ | 1 | ↓ | 0 |

$x < 0$の場合:

$y' = -\sqrt{2-x^2} - x \frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}} = -\sqrt{2-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{-2+x^2+x^2}{\sqrt{2-x^2}} = \frac{2x^2-2}{\sqrt{2-x^2}}$

$y' = 0$ となるのは $2x^2 - 2 = 0$ のとき。$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$。$x < 0$ なので $x = -1$。

増減表は以下のようになる。

| x | $-\sqrt{2}$ | ... | -1 | ... | 0 |

| -------- | ------------ | --- | -- | --- | - |

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↑ | 1 | ↓ | 0 |

よって、$x = 1$ で極大値1, $x = -1$で極大値1,$x=0$で極小値0,$x = \pm\sqrt{2}$で極小値0。

(2) $y = x^x$ ($x>0$)

$y = x^x = e^{x \ln x}$

$y' = e^{x \ln x} (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = x^x (\ln x + 1)$

$y' = 0$ となるのは $\ln x + 1 = 0$ のとき。$\ln x = -1$ より $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$。

増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | 1/e | ... |

| ----- | - | --- | --- | --- |

| y' | | - | 0 | + |

| y | | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = \frac{1}{e}$ で極小値 $(\frac{1}{e})^{1/e} = e^{-1/e}$.

(3) $y = \frac{\sin x}{4 + \cos x}$ ($0 \le x \le \pi$)

$y' = \frac{\cos x (4 + \cos x) - \sin x (-\sin x)}{(4+\cos x)^2} = \frac{4\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(4+\cos x)^2} = \frac{4\cos x + 1}{(4+\cos x)^2}$

$y' = 0$ となるのは $4\cos x + 1 = 0$ のとき。 $\cos x = -\frac{1}{4}$。

$0 \le x \le \pi$ なので、この範囲に$x$は一つ存在する。$x = \arccos(-\frac{1}{4})$とする。

$\cos x = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

$y = \frac{\sqrt{15}/4}{4 - 1/4} = \frac{\sqrt{15}/4}{15/4} = \frac{\sqrt{15}}{15} = \frac{1}{\sqrt{15}}$.

増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | $\arccos(-\frac{1}{4})$ | ... | $\pi$ |

| ----- | - | --- | ---------------------- | --- | ------ |

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | ↑ | 極大 | ↓ | 0 |

$x = \arccos(-\frac{1}{4})$ で極大値 $\frac{1}{\sqrt{15}}$.

$x = 0, \pi$ で極小値

0.

3. 最終的な答え

(1) $x = 1$ で極大値1, $x = -1$で極大値1,$x=0$で極小値0,$x = \pm\sqrt{2}$で極小値0。

(2) $x = \frac{1}{e}$ で極小値 $e^{-1/e}$.

(3) $x = \arccos(-\frac{1}{4})$ で極大値 $\frac{1}{\sqrt{15}}$. $x = 0, \pi$ で極小値

0.