媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ とする。 (1) $t = \frac{\pi}{3}$ に対応する点Pにおける接線の傾きを求める。 (2) 曲線C上の点Pにおける接線とx軸、y軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、線分ABの長さが点Pの位置に関係なく一定であることを示す。 (3) 各$t$ $(0 < t < \frac{\pi}{2})$に対し、上記のように2点A, Bを与え、さらに点Q(3$\sin t$, 2$\cos t$)を定める。$\triangle$ABQの面積をS(t)とするとき、S(t)の最小値を求める。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ について、以下の問いに答える。ただし、$0 < t < \frac{\pi}{2}$ とする。

(1) $t = \frac{\pi}{3}$ に対応する点Pにおける接線の傾きを求める。

(2) 曲線C上の点Pにおける接線とx軸、y軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、線分ABの長さが点Pの位置に関係なく一定であることを示す。

(3) 各$t$ $(0 < t < \frac{\pi}{2})$に対し、上記のように2点A, Bを与え、さらに点Q(3$\sin t$, 2$\cos t$)を定める。$\triangle$ABQの面積をS(t)とするとき、S(t)の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t \cos t$

接線の傾き$\frac{dy}{dx}$は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$

$t = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$

(2) 点Pにおける接線の方程式を求める。

点Pの座標は、($\cos^3 t$, $\sin^3 t$)であるから、接線の方程式は、

$y - \sin^3 t = -\tan t (x - \cos^3 t)$

$y = -\tan t \cdot x + \tan t \cdot \cos^3 t + \sin^3 t$

$y = -\frac{\sin t}{\cos t} \cdot x + \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos^3 t + \sin^3 t$

$y = -\frac{\sin t}{\cos t} \cdot x + \sin t \cos^2 t + \sin^3 t$

$y = -\frac{\sin t}{\cos t} \cdot x + \sin t (\cos^2 t + \sin^2 t)$

$y = -\frac{\sin t}{\cos t} \cdot x + \sin t$

x軸との交点Aは、$y = 0$ のときだから、

$0 = -\frac{\sin t}{\cos t} \cdot x + \sin t$

$\frac{\sin t}{\cos t} \cdot x = \sin t$

$x = \cos t$

よって、A($\cos t$, 0)

y軸との交点Bは、$x = 0$ のときだから、

$y = \sin t$

よって、B(0, $\sin t$)

線分ABの長さは、

$AB = \sqrt{(\cos t - 0)^2 + (0 - \sin t)^2} = \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = \sqrt{1} = 1$

よって、線分ABの長さは常に1である。

(3) A($\cos t$, 0), B(0, $\sin t$), Q(3$\sin t$, 2$\cos t$)

$\triangle$ABQの面積S(t)は、

$S(t) = \frac{1}{2} | (\cos t \cdot \sin t + 0 \cdot 2\cos t + 0 \cdot 0) - (0 \cdot 0 + \sin t \cdot 3\sin t + 2\cos t \cdot \cos t) |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t - 3\sin^2 t - 2\cos^2 t |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t - 3\sin^2 t - 2(1 - \sin^2 t) |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t - \sin^2 t - 2 |$

$S(t) = \frac{1}{2} | \frac{1}{2}\sin 2t + \cos^2 t - 3 |$

$S'(t) = \frac{1}{2} | \cos t \sin t -3\sin^2 t - 2|' = \frac{1}{2} (\cos^2t - \sin^2t - 6\sin t \cos t) = \frac{1}{2}(\cos 2t - 3\sin 2t)$

$S'(t)=0$より

$\cos 2t = 3\sin 2t$

$\tan 2t = \frac{1}{3}$

$\sin 2t = \frac{1}{\sqrt{10}}$, $\cos 2t = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$S(t) = \frac{1}{2} | \frac{1}{2\sqrt{10}} - (1 - \frac{3}{\sqrt{10}}+2 )| = \frac{1}{2} | \frac{1}{2\sqrt{10}} - 2 \cdot\sqrt{\frac{30}{3}}- (\frac{5}{3}- \frac{26}{3}- (\frac{97}{20} |$

$\sin 2t = \frac{1}{\sqrt{10}}, \cos 2t = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$2\sin^2t = 1 - \cos 2t$より

$\sin^2 t = \frac{1}{2}(1 - \frac{3}{\sqrt{10}}) = \frac{\sqrt{10}-3}{2\sqrt{10}}$

$S(t) = \frac{1}{2}|\frac{1}{2\sqrt{10}} - \frac{\sqrt{10}-3}{2\sqrt{10}} - 2 | = \frac{1}{4\sqrt{10}}|1 - \sqrt{10}+3 - 4\sqrt{10}| = \frac{1}{4\sqrt{10}}|4 - 5\sqrt{10}|$

$S(t) = \frac{5\sqrt{10}-4}{4\sqrt{10}}$

$S(t) = \frac{50 - 4\sqrt{10}}{40} = \frac{25-2\sqrt{10}}{20}$

S(t) の最小値は、$\frac{5\sqrt{10}-4}{4\sqrt{10}}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{3}$

(2) 線分ABの長さは常に1である。

(3) $\frac{5\sqrt{10}-4}{4\sqrt{10}}$