(1) 関数 $f(x) = x^3 - x$ に対して、$f(x + \Delta x) = f(x) + X \Delta x + R(\Delta x)$ と表すとき、$X$ と $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{R(\Delta x)}{\Delta x}$ を求める。 (2) $x > 0$ とする。導関数 $(x \log_e x)' = \log_e x + 1$ を利用して、不定積分 $\int \log_e x \, dx$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 - x$ に対して、$f(x + \Delta x) = f(x) + X \Delta x + R(\Delta x)$ と表すとき、$X$ と $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{R(\Delta x)}{\Delta x}$ を求める。

(2) $x > 0$ とする。導関数 $(x \log_e x)' = \log_e x + 1$ を利用して、不定積分 $\int \log_e x \, dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x + \Delta x)$ を計算する。

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^3 - (x + \Delta x) = x^3 + 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x - \Delta x$

$f(x) = x^3 - x$ であるから、

$f(x + \Delta x) - f(x) = 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - \Delta x = (3x^2 - 1) \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

問題文より、$f(x + \Delta x) = f(x) + X \Delta x + R(\Delta x)$ であるから、

$f(x + \Delta x) - f(x) = X \Delta x + R(\Delta x)$

よって、$X = 3x^2 - 1$ と $R(\Delta x) = 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$ が得られる。

次に、$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{R(\Delta x)}{\Delta x}$ を計算する。

$\frac{R(\Delta x)}{\Delta x} = \frac{3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 3x \Delta x + (\Delta x)^2$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{R(\Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (3x \Delta x + (\Delta x)^2) = 0$

(2)

$(x \log_e x)' = \log_e x + 1$ であるから、$\int (x \log_e x)' \, dx = \int (\log_e x + 1) \, dx$

$x \log_e x = \int \log_e x \, dx + \int 1 \, dx$

$x \log_e x = \int \log_e x \, dx + x$

$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x + C$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

(1) $X = 3x^2 - 1$, $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{R(\Delta x)}{\Delta x} = 0$

(2) $\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x + C$ (Cは積分定数)