$\sqrt{3}\sin x - \cos x > 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}\sin x - \cos x > 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。

$\sqrt{3}\sin x - \cos x$ を $R\sin(x + \alpha)$ の形に変形します。ここで、$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$ です。

また、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ となる $\alpha$ を探すと、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$ が得られます。

したがって、$\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$ となります。

元の不等式は $2\sin(x - \frac{\pi}{6}) > 1$ となり、

$\sin(x - \frac{\pi}{6}) > \frac{1}{2}$ となります。

$x - \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta > \frac{1}{2}$ となります。

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

よって、$\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6}$ となります。

$\theta = x - \frac{\pi}{6}$ を代入すると、$\frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$ となります。

それぞれの辺に $\frac{\pi}{6}$ を加えると、$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$ となり、

$\frac{2\pi}{6} < x < \frac{6\pi}{6}$ となります。

つまり、$\frac{\pi}{3} < x < \pi$ となります。

一般解を求める場合、

$2n\pi + \frac{\pi}{3} < x < 2n\pi + \pi$ ( $n$ は整数)となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} < x < \pi$ または $2n\pi + \frac{\pi}{3} < x < 2n\pi + \pi$ ( $n$ は整数)