$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた極限を求めるために、自然対数の底$e$の定義を利用します。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$であることを利用します。

まず、与えられた式を変形します。

$(1 + \frac{1}{n+1})^n$の指数部分を$n+1$に近づけることを考えます。

そこで、$n = (n+1) - 1$と変形します。

$(1 + \frac{1}{n+1})^n = (1 + \frac{1}{n+1})^{(n+1) - 1} = (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1 + \frac{1}{n+1})^{-1}$

ここで、$m = n+1$とおくと、$n \to \infty$のとき$m \to \infty$なので、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} = \lim_{m \to \infty} (1 + \frac{1}{m})^m = e$

また、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^{-1} = (1 + 0)^{-1} = 1$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+1})^{-1} = e \cdot 1 = e$

3. 最終的な答え

$e$