与えられた不等式 $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2 \cos^2 x + 3 \cos x - 2 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = t$ とおくと、不等式は $2t^2 + 3t - 2 < 0$ となります。

次に、左辺を因数分解します。

$2t^2 + 3t - 2 = (2t - 1)(t + 2)$

したがって、不等式は $(2t - 1)(t + 2) < 0$ となります。

この不等式を満たす $t$ の範囲は $-2 < t < \frac{1}{2}$ です。

$t = \cos x$ より、$-2 < \cos x < \frac{1}{2}$ となります。

$\cos x$ の値域は $-1 \le \cos x \le 1$ であるため、$-1 \le \cos x < \frac{1}{2}$ となります。

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{5\pi}{3}$ です。

単位円を考えると、$\cos x < \frac{1}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$ です。

したがって、$0 \le x < 2\pi$ の範囲では、解は $\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{3}$