問題は、次の極限を求めることです。 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 103}{5x^2 + 6x - 1}$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 103}{5x^2 + 6x - 1}$

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくときの関数の極限を求めるには、分子と分母を $x$ の最高次数の項で割ります。ここでは、$x^2$ が最高次数です。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 103}{5x^2 + 6x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{103}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{6x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{103}{x^2}}{5 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}$

$x$ が無限大に近づくと、$\frac{103}{x^2}$, $\frac{6}{x}$ と $\frac{1}{x^2}$ はすべて0に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{103}{x^2}}{5 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 - 0}{5 + 0 - 0} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$