$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + \cos x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 x + \cos x$ の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ であるから、関数 $y$ を $\cos x$ で表す。

$y = 1 - \cos^2 x + \cos x$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、$0 \le x < 2\pi$ より、$-1 \le t \le 1$ である。

$y = -t^2 + t + 1$

平方完成を行う。

$y = -(t^2 - t) + 1$

$y = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} + 1$

$y = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}$

したがって、$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{5}{4}$ をとり、$t = -1$ のとき最小値 $-1$ をとる。

(i) 最大値のとき:

$t = \cos x = \frac{1}{2}$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(ii) 最小値のとき:

$t = \cos x = -1$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、$x = \pi$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{4}$ ($x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値: $-1$ ($x = \pi$ のとき)