曲線 $y = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - x^2 - 2x$ と $x$軸で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 - x^2 - 2x = 0$ を解いて、$x$軸との交点を求める。

$x(x^2 - x - 2) = 0$

$x(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 2$ である。

したがって、積分区間は $[-1, 0]$ と $[0, 2]$ となる。

区間 $[-1, 0]$ で、$y = x^3 - x^2 - 2x$ は $x$軸の上側にあるので、面積は正である。

したがって、$S_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx$ を計算する。

区間 $[0, 2]$ で、$y = x^3 - x^2 - 2x$ は $x$軸の下側にあるので、面積は負になる。面積の絶対値を計算するために、積分結果に $-1$ を掛ける。

したがって、$S_2 = -\int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx$ を計算する。

$S = S_1 + S_2$ を計算する。

$S_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{-1}^{0} = 0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1) = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{12-3-4}{12} = \frac{5}{12}$

$S_2 = -\int_{0}^{2} (x^3 - x^2 - 2x) dx = -\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{0}^{2} = -(\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4) = - (4 - \frac{8}{3} - 4) = \frac{8}{3}$

$S = S_1 + S_2 = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5 + 32}{12} = \frac{37}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{37}{12}$