与えられた2階の微分方程式 $\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \sin(\sqrt{3}t)$ を、初期条件 $t=0$ で $x=0$ かつ $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解く問題です。そして、解 $x(t)$ が与えられた形式 $x(t) = (\frac{v_0}{\sqrt{A}} + \frac{1}{B})\sin(\sqrt{C}t) - \frac{t}{\sqrt{D}}\cos(\sqrt{E}t)$ で表されるとき、$A$ から $E$ までの整数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階の微分方程式

$\frac{d^2x}{dt^2} = -3x + \sin(\sqrt{3}t)$

を、初期条件 $t=0$ で $x=0$ かつ $\frac{dx}{dt} = v_0$ の下で解く問題です。そして、解 $x(t)$ が与えられた形式

$x(t) = (\frac{v_0}{\sqrt{A}} + \frac{1}{B})\sin(\sqrt{C}t) - \frac{t}{\sqrt{D}}\cos(\sqrt{E}t)$

で表されるとき、$A$ から $E$ までの整数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を書き換えます。

$\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = \sin(\sqrt{3}t)$

これは非同次線形微分方程式なので、まず同次方程式

$\frac{d^2x}{dt^2} + 3x = 0$

の一般解を求めます。特性方程式は

$r^2 + 3 = 0$

となり、解は $r = \pm i\sqrt{3}$ です。したがって、同次方程式の一般解は

$x_h(t) = c_1\cos(\sqrt{3}t) + c_2\sin(\sqrt{3}t)$

となります。

次に、非同次方程式の特殊解を求めます。右辺が $\sin(\sqrt{3}t)$ であるため、特殊解を

$x_p(t) = At\cos(\sqrt{3}t) + Bt\sin(\sqrt{3}t)$

と仮定します。これを微分すると

$\frac{dx_p}{dt} = A\cos(\sqrt{3}t) - A\sqrt{3}t\sin(\sqrt{3}t) + B\sin(\sqrt{3}t) + B\sqrt{3}t\cos(\sqrt{3}t)$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} = -2A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\cos(\sqrt{3}t) + 2B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 3Bt\sin(\sqrt{3}t)$

これを微分方程式に代入すると

$-2A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) - 3At\cos(\sqrt{3}t) + 2B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - 3Bt\sin(\sqrt{3}t) + 3(At\cos(\sqrt{3}t) + Bt\sin(\sqrt{3}t)) = \sin(\sqrt{3}t)$

$-2A\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t) + 2B\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) = \sin(\sqrt{3}t)$

係数を比較すると

$-2A\sqrt{3} = 1 \implies A = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$

$2B\sqrt{3} = 0 \implies B = 0$

したがって、特殊解は

$x_p(t) = -\frac{1}{2\sqrt{3}}t\cos(\sqrt{3}t)$

微分方程式の一般解は

$x(t) = c_1\cos(\sqrt{3}t) + c_2\sin(\sqrt{3}t) - \frac{1}{2\sqrt{3}}t\cos(\sqrt{3}t)$

初期条件 $x(0)=0$ より、$c_1 = 0$。

$x(t) = c_2\sin(\sqrt{3}t) - \frac{1}{2\sqrt{3}}t\cos(\sqrt{3}t)$

$\frac{dx}{dt} = c_2\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t) - \frac{1}{2\sqrt{3}}\cos(\sqrt{3}t) + \frac{1}{2}t\sin(\sqrt{3}t)$

初期条件 $\frac{dx}{dt}(0) = v_0$ より、$c_2\sqrt{3} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = v_0$。したがって、$c_2 = \frac{v_0}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6}$

求める解は

$x(t) = (\frac{v_0}{\sqrt{3}} + \frac{1}{6})\sin(\sqrt{3}t) - \frac{1}{2\sqrt{3}}t\cos(\sqrt{3}t)$

与えられた解の形式と比較すると

$x(t) = (\frac{v_0}{\sqrt{A}} + \frac{1}{B})\sin(\sqrt{C}t) - \frac{t}{\sqrt{D}}\cos(\sqrt{E}t)$

$A=3, B=6, C=3, D=12, E=3$

3. 最終的な答え

A = 3

B = 6

C = 3

D = 12

E = 3