関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しいかどうかを判定し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。 (1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。 (2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の合成関数 $g \circ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、以下の命題が正しいかどうかを判定し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げよ。

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である。

2. 解き方の手順

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数であるか？

これは正しくありません。反例を挙げます。

$f(x) = \begin{cases} 0, & x \ne 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$

このとき、

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \begin{cases} g(0), & x \ne 0 \\ g(1), & x = 0 \end{cases} = \begin{cases} 1, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} = g(x)$

しかし、これは定数関数 $1$ に等しくありません。正しくは、

$(g \circ f)(x) = \begin{cases} 1, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

これは、 $f(x)$ は $x=0$ で連続ではなく、$g(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。しかし、

$g(f(x)) = \begin{cases} g(0), & x \ne 0 \\ g(1), & x = 0 \end{cases} = \begin{cases} 1, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$

より、$g \circ f$ は $x=0$ で連続ではありません。

別の反例として、$g(x)=0$ という恒等的にゼロになる関数を選びます。この時、$g(f(x))=0$ となり、これは明らかに連続です。しかし、$f$ は連続である必要はありません。例えば、$f(x)$ がどこか一点で不連続であれば、$g \circ f$ は連続でも、$f$ は連続ではありません。

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数であるか？

これも正しくありません。反例を挙げます。

$f(x) = 0$ （恒等的にゼロ）

$g(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ 1, & x \ne 0 \end{cases}$

このとき、

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(0) = 0$

これは連続関数ですが、$g(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $g \circ f$ が連続関数ならば、$f$ も連続関数である：偽。反例：$f(x) = 0$, $g(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ 1, & x \ne 0 \end{cases}$

(2) $g \circ f$ が連続関数ならば、$g$ も連続関数である：偽。反例：$f(x) = 0$, $g(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ 1, & x \ne 0 \end{cases}$