2つの放物線 $y = x^2 + 2x$ と $y = -x^2 + 4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = x^2 + 2x$ と $y = -x^2 + 4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求める。交点では $x^2 + 2x = -x^2 + 4$ が成り立つので、この方程式を解く。

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = -2, 1$ である。

次に、区間 $[-2, 1]$ において、どちらの関数が上にあるかを調べる。区間内の適当な値、例えば $x=0$ を代入すると、$y = x^2 + 2x$ では $y = 0$、$y = -x^2 + 4$ では $y = 4$ となる。したがって、$y = -x^2 + 4$ が上側、$y = x^2 + 2x$ が下側にある。

面積 $S$ は、上の関数から下の関数を引いたものを積分することで求められる。

$S = \int_{-2}^{1} \{(-x^2 + 4) - (x^2 + 2x)\} dx$

$S = \int_{-2}^{1} (-2x^2 - 2x + 4) dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 - x^2 + 4x\right]_{-2}^{1}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(1)^3 - (1)^2 + 4(1)\right) - \left(-\frac{2}{3}(-2)^3 - (-2)^2 + 4(-2)\right)$

$S = \left(-\frac{2}{3} - 1 + 4\right) - \left(-\frac{2}{3}(-8) - 4 - 8\right)$

$S = \left(-\frac{2}{3} + 3\right) - \left(\frac{16}{3} - 12\right)$

$S = -\frac{2}{3} + 3 - \frac{16}{3} + 12$

$S = -\frac{18}{3} + 15$

$S = -6 + 15$

$S = 9$

3. 最終的な答え

9