次の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{x^2+x}{|x|}$ (2) $\lim_{x \to 1-0} [x]$ ([x]はガウス記号)

1. 問題の内容

次の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{x^2+x}{|x|}$

(2) $\lim_{x \to 1-0} [x]$ ([x]はガウス記号)

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{x^2+x}{|x|}$

$x$ が正の方向から0に近づくので、$x > 0$。

したがって、$|x| = x$。

よって、

$\lim_{x \to +0} \frac{x^2+x}{|x|} = \lim_{x \to +0} \frac{x^2+x}{x} = \lim_{x \to +0} \frac{x(x+1)}{x}$

$= \lim_{x \to +0} (x+1) = 0 + 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 1-0} [x]$

$x$ が1に、1より小さい側から近づくので、$x < 1$。

したがって、$x$ は1より小さい数なので、$[x] = 0$。

よって、

$\lim_{x \to 1-0} [x] = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 0