与えられた数列 $a_n$ が収束するかどうかを調べ、収束する場合は極限値を求める問題です。数列は以下の9つです。 (1) $a_n = \frac{4n+5}{n}$ (2) $a_n = \frac{n}{3n+2}$ (3) $a_n = \frac{4n+5}{3n+4}$ (4) $a_n = \frac{2n^2 - 4n + 5}{n^2 + 2n + 100}$ (5) $a_n = \sqrt{n+100} - \sqrt{n}$ (6) $a_n = \frac{1}{2}\{1 + (-1)^n\}$ (7) $a_n = \frac{n+1}{3n^2 - 2}$ (8) $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n} - 1}$ (9) $a_n = \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n}}$

1. 問題の内容

与えられた数列 $a_n$ が収束するかどうかを調べ、収束する場合は極限値を求める問題です。数列は以下の9つです。

(1) $a_n = \frac{4n+5}{n}$

(2) $a_n = \frac{n}{3n+2}$

(3) $a_n = \frac{4n+5}{3n+4}$

(4) $a_n = \frac{2n^2 - 4n + 5}{n^2 + 2n + 100}$

(5) $a_n = \sqrt{n+100} - \sqrt{n}$

(6) $a_n = \frac{1}{2}\{1 + (-1)^n\}$

(7) $a_n = \frac{n+1}{3n^2 - 2}$

(8) $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n} - 1}$

(9) $a_n = \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n}}$

2. 解き方の手順

各数列について、nを無限大に近づけたときの極限を考えます。

(1) $a_n = \frac{4n+5}{n} = 4 + \frac{5}{n}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{n} \to 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = 4$

(2) $a_n = \frac{n}{3n+2} = \frac{1}{3 + \frac{2}{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{3}$

(3) $a_n = \frac{4n+5}{3n+4} = \frac{4 + \frac{5}{n}}{3 + \frac{4}{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{5}{n} \to 0$ かつ $\frac{4}{n} \to 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{4}{3}$

(4) $a_n = \frac{2n^2 - 4n + 5}{n^2 + 2n + 100} = \frac{2 - \frac{4}{n} + \frac{5}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{100}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{4}{n} \to 0$, $\frac{5}{n^2} \to 0$, $\frac{2}{n} \to 0$, $\frac{100}{n^2} \to 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{1} = 2$

(5) $a_n = \sqrt{n+100} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+100} - \sqrt{n})(\sqrt{n+100} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+100} + \sqrt{n}} = \frac{n+100 - n}{\sqrt{n+100} + \sqrt{n}} = \frac{100}{\sqrt{n+100} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+100} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

(6) $a_n = \frac{1}{2}\{1 + (-1)^n\}$

$n$ が偶数のとき、$a_n = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$

$n$ が奇数のとき、$a_n = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0$

数列は $1, 0, 1, 0, ...$ と振動するため、極限は存在しません。よって、発散します。

(7) $a_n = \frac{n+1}{3n^2 - 2} = \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{2}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{0}{3} = 0$

(8) $a_n = \frac{4n-1}{2\sqrt{n} - 1} = \frac{4n - 1}{2\sqrt{n} - 1} = \frac{4n-1}{2\sqrt{n}-1} \cdot \frac{1/\sqrt{n}}{1/\sqrt{n}} = \frac{4\sqrt{n} - 1/\sqrt{n}}{2 - 1/\sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$4\sqrt{n} \to \infty$ であり、$1/\sqrt{n} \to 0$ であるから $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$ となり発散する。

(9) $a_n = \frac{\sqrt{3n^2+1}}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{3 + \frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n^2} \to 0$ かつ $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1} + 0} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 1/3

(3) 4/3

(4) 2

(5) 0

(6) 発散

(7) 0

(8) 発散

(9) $\sqrt{3}$