与えられた2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x}$ (2) $\lim_{x \to a} \frac{\log x - \log a}{x-a}$ ($a>0$)

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x}$

(2) $\lim_{x \to a} \frac{\log x - \log a}{x-a}$ ($a>0$)

2. 解き方の手順

(1) の極限について：

まず、$\log(1+x)$ のテイラー展開（またはマクローリン展開）を利用します。$x$ が $0$ に近いとき、$\log(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ であることを用います。

より簡便には、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ が使えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x}$ を考えます。$t = x + x^2$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ となります。

よって、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+t)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} \cdot \frac{t}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} \cdot \frac{x+x^2}{2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x+x^2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+x^2)}{2x} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(2) の極限について：

この極限は、$\log x$ の $x=a$ における微分係数の定義そのものです。すなわち、

$\lim_{x \to a} \frac{\log x - \log a}{x-a} = \frac{d}{dx} \log x \Bigr|_{x=a}$

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$ なので、$\frac{d}{dx} \log x \Bigr|_{x=a} = \frac{1}{a}$

したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{\log x - \log a}{x-a} = \frac{1}{a}$

3. 最終的な答え

(1) の答え: $\frac{1}{2}$

(2) の答え: $\frac{1}{a}$