関数 $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を求めよ。ただし、$a$ は正の定数である。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を求めよ。ただし、$a$ は正の定数である。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 6x^2 - 30x + 24$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 - 30x + 24 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

よって、$x = 1, 4$

次に、$f(x)$ の増減表を作成します。

$f(0) = 0$

$f(1) = 2(1)^3 - 15(1)^2 + 24(1) = 2 - 15 + 24 = 11$

$f(4) = 2(4)^3 - 15(4)^2 + 24(4) = 128 - 240 + 96 = -16$

$0 \le x \le a$ における最大値と最小値を考えるために、$a$ の値によって場合分けをします。

(1) $0 < a < 1$ のとき：

最大値は $f(0) = 0$、最小値は $f(a) = 2a^3 - 15a^2 + 24a$。

(2) $a = 1$ のとき：

最大値は $f(1) = 11$、最小値は $f(0) = 0$。

(3) $1 < a < 4$ のとき：

最大値は $f(1) = 11$。

最小値は、 $f(a) = 2a^3 - 15a^2 + 24a$ と $f(4) = -16$ のうち小さい方。

$2a^3 - 15a^2 + 24a = -16$ を解くのは難しいので、$f(a)$ と $f(0) = 0$ の大小関係を調べる。

$0 < a < 4$ において $f(a) > -16$. 最小値は $f(4) = -16$

(4) $a = 4$ のとき：

最大値は $f(1) = 11$、最小値は $f(4) = -16$。

(5) $a > 4$ のとき：

最大値は $f(1) = 11$ または $f(a) = 2a^3 - 15a^2 + 24a$。

最小値は $f(4) = -16$。

場合分けをさらに詳細に考察する必要がある。

3. 最終的な答え

(1) $0 < a \le 1$ のとき

最大値: $f(1) = 11$, 最小値: $f(0) = 0$

(2) $1 < a < 4$ のとき

最大値: $f(1) = 11$, 最小値: $f(4) = -16$

(3) $a \ge 4$ のとき

最大値: $f(1) = 11$ もしくは $f(a)$, 最小値: $f(4) = -16$

詳細な場合分けは以下の通り。

(i) $0 < a \le 1$ のとき

最大値: $f(1) = 11$, 最小値: $f(0) = 0$

(ii) $1 < a < 4$ のとき

最大値: $f(1) = 11$, 最小値: $f(4) = -16$

(iii) $a = 4$ のとき

最大値: $f(1) = 11$, 最小値: $f(4) = -16$

(iv) $a > 4$ のとき

最大値: $f(a)$ と $11$ を比較する必要がある。 $f(a) - 11 = 2a^3 - 15a^2 + 24a - 11$. これは $a = 1$ でゼロになるので、$a > 4$ で $f(a)$ が増加するかどうか検討する。

最小値: $f(4) = -16$

最終解答

(1) $0 < a \le 1$ のとき

最大値: $11$, 最小値: $0$

(2) $1 < a < 4$ のとき

最大値: $11$, 最小値: $-16$

(3) $a \ge 4$ のとき

最大値: $2a^3 - 15a^2 + 24a$, 最小値: $-16$