$\int xe^{-x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int xe^{-x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解くことができます。

部分積分の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここで、$u = x$ と $dv = e^{-x} dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ であり、$v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$ となります。

したがって、部分積分の公式に代入すると、

$\int xe^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx$

$= -xe^{-x} + \int e^{-x} dx$

$= -xe^{-x} - e^{-x} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$