関数 $y = e^{2x} \sin 3x$ が微分方程式 $y' + ay = be^{2x} \cos 3x$ を満たすように、定数 $a$ と $b$ の値を決定する。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x} \sin 3x$ が微分方程式 $y' + ay = be^{2x} \cos 3x$ を満たすように、定数 $a$ と $b$ の値を決定する。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{2x} \sin 3x$ を微分して $y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(e^{2x} \sin 3x)$

積の微分公式より、

$y' = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x} (\sin 3x)'$

$y' = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} (3 \cos 3x)$

$y' = 2e^{2x} \sin 3x + 3e^{2x} \cos 3x$

次に、微分方程式 $y' + ay = be^{2x} \cos 3x$ に $y$ と $y'$ を代入します。

$(2e^{2x} \sin 3x + 3e^{2x} \cos 3x) + a(e^{2x} \sin 3x) = be^{2x} \cos 3x$

$e^{2x} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x + a \sin 3x) = be^{2x} \cos 3x$

$e^{2x}((2+a) \sin 3x + 3 \cos 3x) = be^{2x} \cos 3x$

両辺を $e^{2x}$ で割ると、

$(2+a) \sin 3x + 3 \cos 3x = b \cos 3x$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、$\sin 3x$ の係数が $0$ でなければなりません。したがって、

$2 + a = 0$

$a = -2$

また、$\cos 3x$ の係数は等しくなければなりません。したがって、

$3 = b$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 3$