与えられた関数 $f(x, y) = (x+y) \sin(2x+3y)$ の2階偏導関数 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$ を求め、さらに全微分 $df$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = (x+y) \sin(2x+3y)$ の2階偏導関数 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}$ を求め、さらに全微分 $df$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、1階偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を計算します。その後、それぞれをさらに $x$ と $y$ で偏微分して2階偏導関数を求めます。最後に、全微分の公式に当てはめて $df$ を計算します。

(1) 1階偏導関数を求める

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$ を計算します。積の微分公式を使います。

$f_x = \frac{\partial}{\partial x}((x+y) \sin(2x+3y)) = (1+0)\sin(2x+3y) + (x+y)\cos(2x+3y) \cdot 2$

$f_x = \sin(2x+3y) + 2(x+y)\cos(2x+3y)$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$f_y = \frac{\partial}{\partial y}((x+y) \sin(2x+3y)) = (0+1)\sin(2x+3y) + (x+y)\cos(2x+3y) \cdot 3$

$f_y = \sin(2x+3y) + 3(x+y)\cos(2x+3y)$

(2) 2階偏導関数を求める

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} f_x = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(2x+3y) + 2(x+y)\cos(2x+3y))$

$f_{xx} = \cos(2x+3y) \cdot 2 + 2(1+0)\cos(2x+3y) + 2(x+y)(-\sin(2x+3y)) \cdot 2$

$f_{xx} = 2\cos(2x+3y) + 2\cos(2x+3y) - 4(x+y)\sin(2x+3y) = 4\cos(2x+3y) - 4(x+y)\sin(2x+3y)$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} f_x = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(2x+3y) + 2(x+y)\cos(2x+3y))$

$f_{xy} = \cos(2x+3y) \cdot 3 + 2(0+1)\cos(2x+3y) + 2(x+y)(-\sin(2x+3y)) \cdot 3$

$f_{xy} = 3\cos(2x+3y) + 2\cos(2x+3y) - 6(x+y)\sin(2x+3y) = 5\cos(2x+3y) - 6(x+y)\sin(2x+3y)$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} f_y = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(2x+3y) + 3(x+y)\cos(2x+3y))$

$f_{yx} = \cos(2x+3y) \cdot 2 + 3(1+0)\cos(2x+3y) + 3(x+y)(-\sin(2x+3y)) \cdot 2$

$f_{yx} = 2\cos(2x+3y) + 3\cos(2x+3y) - 6(x+y)\sin(2x+3y) = 5\cos(2x+3y) - 6(x+y)\sin(2x+3y)$

（$f_{xy}=f_{yx}$ となることを確認）

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} f_y = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(2x+3y) + 3(x+y)\cos(2x+3y))$

$f_{yy} = \cos(2x+3y) \cdot 3 + 3(0+1)\cos(2x+3y) + 3(x+y)(-\sin(2x+3y)) \cdot 3$

$f_{yy} = 3\cos(2x+3y) + 3\cos(2x+3y) - 9(x+y)\sin(2x+3y) = 6\cos(2x+3y) - 9(x+y)\sin(2x+3y)$

(3) 全微分を求める

全微分の公式 $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = f_x dx + f_y dy$ を使います。

$df = (\sin(2x+3y) + 2(x+y)\cos(2x+3y))dx + (\sin(2x+3y) + 3(x+y)\cos(2x+3y))dy$

3. 最終的な答え

$f_{xx} = 4\cos(2x+3y) - 4(x+y)\sin(2x+3y)$

$f_{xy} = 5\cos(2x+3y) - 6(x+y)\sin(2x+3y)$

$f_{yx} = 5\cos(2x+3y) - 6(x+y)\sin(2x+3y)$

$f_{yy} = 6\cos(2x+3y) - 9(x+y)\sin(2x+3y)$

$df = (\sin(2x+3y) + 2(x+y)\cos(2x+3y))dx + (\sin(2x+3y) + 3(x+y)\cos(2x+3y))dy$