定数 $a, b$ が $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} + b}{x-2} = \frac{3}{4}$ を満たすとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a, b$ が $\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} + b}{x-2} = \frac{3}{4}$ を満たすとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限値が存在するためには、分子も $0$ に近づく必要がある。したがって、

$$a\sqrt{2^2 + 2\cdot2 + 8} + b = 0$$

$$a\sqrt{4+4+8} + b = 0$$

$$a\sqrt{16} + b = 0$$

$$4a + b = 0$$

$$b = -4a$$

これを元の式に代入すると、

$$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x^2+2x+8} - 4a}{x-2} = \frac{3}{4}$$

$$a\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+2x+8} - 4}{x-2} = \frac{3}{4}$$

ここで、$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+2x+8} - 4}{x-2}$ を計算するために、分子を有理化する。

$$a\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x^2+2x+8} - 4)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)} = \frac{3}{4}$$

$$a\lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x+8 - 16}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)} = \frac{3}{4}$$

$$a\lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x-8}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)} = \frac{3}{4}$$

$$a\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(\sqrt{x^2+2x+8} + 4)} = \frac{3}{4}$$

$$a\lim_{x \to 2} \frac{x+4}{\sqrt{x^2+2x+8} + 4} = \frac{3}{4}$$

$$a\frac{2+4}{\sqrt{2^2+2\cdot2+8} + 4} = \frac{3}{4}$$

$$a\frac{6}{\sqrt{16} + 4} = \frac{3}{4}$$

$$a\frac{6}{4 + 4} = \frac{3}{4}$$

$$a\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

$$a\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$$

$$a = 1$$

$b = -4a$ より、$b = -4\cdot 1 = -4$

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -4$