関数 $f(x) = 10x + 5\sqrt{4x-x^2}$ （$0 \le x \le 4$）の最大値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 10x + 5\sqrt{4x-x^2}$ （$0 \le x \le 4$）の最大値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$4x-x^2$の部分に注目し、平方完成します。

$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -(x-2)^2 + 4 = 4 - (x-2)^2$

この結果を$f(x)$に代入します。

$f(x) = 10x + 5\sqrt{4 - (x-2)^2}$

次に、三角関数を用いて変数を置換します。$x-2 = 2\sin\theta$とおきます。このとき、$x = 2 + 2\sin\theta$となり、$0 \le x \le 4$より、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$となります。

$f(x)$を$\theta$を用いて表すと、

$f(\theta) = 10(2 + 2\sin\theta) + 5\sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 20 + 20\sin\theta + 5\sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} = 20 + 20\sin\theta + 10\sqrt{\cos^2\theta}$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$の範囲では、$\cos\theta \ge 0$なので、$\sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$となり、

$f(\theta) = 20 + 20\sin\theta + 10\cos\theta$

ここで、$f(\theta)$を合成します。

$f(\theta) = 20 + 10(2\sin\theta + \cos\theta)$

$2\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2^2 + 1^2}\sin(\theta + \alpha) = \sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$

ただし、$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$

よって、$f(\theta) = 20 + 10\sqrt{5}\sin(\theta + \alpha)$

$f(\theta)$の最大値は$\sin(\theta + \alpha) = 1$のときです。この時、$\theta + \alpha = \frac{\pi}{2}$を満たす$\theta$が存在し、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$を満たします。

したがって、最大値は $20 + 10\sqrt{5}$です。

3. 最終的な答え

$20 + 10\sqrt{5}$