与えられた関数 $z$ について、偏微分を用いて指定された関係式を証明する問題です。具体的には、 (1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$-3z_x = 2z_y$ を示す。 (2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$xz_x + yz_y = 0$ を示す。 (3) $z = (x+y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$yz_x + xz_y = z$ を示す。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ について、偏微分を用いて指定された関係式を証明する問題です。具体的には、

(1) $z = f(2x - 3y)$ のとき、$-3z_x = 2z_y$ を示す。

(2) $z = f(\frac{y}{x})$ のとき、$xz_x + yz_y = 0$ を示す。

(3) $z = (x+y)f(x^2 - y^2)$ のとき、$yz_x + xz_y = z$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) $z = f(2x - 3y)$ の場合:

まず、$z_x$ と $z_y$ を計算します。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = f'(2x - 3y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(2x - 3y) = f'(2x - 3y) \cdot 2 = 2f'(2x - 3y)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = f'(2x - 3y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x - 3y) = f'(2x - 3y) \cdot (-3) = -3f'(2x - 3y)$

次に、$-3z_x$ と $2z_y$ を計算します。

$-3z_x = -3(2f'(2x - 3y)) = -6f'(2x - 3y)$

$2z_y = 2(-3f'(2x - 3y)) = -6f'(2x - 3y)$

したがって、$-3z_x = 2z_y$ が成り立ちます。

(2) $z = f(\frac{y}{x})$ の場合:

まず、$z_x$ と $z_y$ を計算します。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = f'(\frac{y}{x}) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\frac{y}{x}) = f'(\frac{y}{x}) \cdot (-\frac{y}{x^2})$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = f'(\frac{y}{x}) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{x}) = f'(\frac{y}{x}) \cdot (\frac{1}{x})$

次に、$xz_x + yz_y$ を計算します。

$xz_x + yz_y = x(f'(\frac{y}{x}) \cdot (-\frac{y}{x^2})) + y(f'(\frac{y}{x}) \cdot (\frac{1}{x})) = -\frac{xy}{x^2}f'(\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}f'(\frac{y}{x}) = -\frac{y}{x}f'(\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}f'(\frac{y}{x}) = 0$

したがって、$xz_x + yz_y = 0$ が成り立ちます。

(3) $z = (x+y)f(x^2 - y^2)$ の場合:

まず、$z_x$ と $z_y$ を計算します。

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}((x+y)f(x^2 - y^2)) = f(x^2 - y^2) + (x+y)f'(x^2 - y^2)(2x) = f(x^2 - y^2) + 2x(x+y)f'(x^2 - y^2)$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}((x+y)f(x^2 - y^2)) = f(x^2 - y^2) + (x+y)f'(x^2 - y^2)(-2y) = f(x^2 - y^2) - 2y(x+y)f'(x^2 - y^2)$

次に、$yz_x + xz_y$ を計算します。

$yz_x + xz_y = y(f(x^2 - y^2) + 2x(x+y)f'(x^2 - y^2)) + x(f(x^2 - y^2) - 2y(x+y)f'(x^2 - y^2)) = yf(x^2 - y^2) + 2xy(x+y)f'(x^2 - y^2) + xf(x^2 - y^2) - 2xy(x+y)f'(x^2 - y^2) = (x+y)f(x^2 - y^2) = z$

したがって、$yz_x + xz_y = z$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $-3z_x = 2z_y$

(2) $xz_x + yz_y = 0$

(3) $yz_x + xz_y = z$