定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、この積分を $I$ と置きます。

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

次に、置換積分を行います。$x = \pi - u$ とすると、$dx = -du$ であり、積分範囲は $x=0$ から $x=\pi$ が、$u=\pi$ から $u=0$ に変わります。

従って、

$I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u) \sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} (-du)$

$\sin(\pi - u) = \sin u$ および $\cos(\pi - u) = -\cos u$ であるため、

$I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u) \sin u}{1 + (-\cos u)^2} (-du)$

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - u) \sin u}{1 + \cos^2 u} du$

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ （変数 $u$ を $x$ に置き換えた）

$I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx - \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

$I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx - I$

$2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を計算するために、さらに置換積分を行います。

$t = \cos x$ とすると、$dt = -\sin x dx$ であり、積分範囲は $x=0$ から $x=\pi$ が、$t=1$ から $t=-1$ に変わります。

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1 + t^2} = \arctan t \Big|_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

よって、

$2I = \pi \cdot \frac{\pi}{2}$

$I = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi^2}{4}$