次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の極限を求める問題です。 (1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n - 2$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 2$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の極限を求める問題です。

(1) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n - 2$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 3a_n + 2$

2. 解き方の手順

(1)

数列$\{a_n\}$の極限が存在すると仮定し、$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$とおくと、$\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \alpha$も成り立つ。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n - 2$ の両辺で$n\to\infty$とすると、

$\alpha = \frac{1}{3}\alpha - 2$

これを解くと、$\alpha = \frac{1}{3}\alpha - 2 \implies \frac{2}{3}\alpha = -2 \implies \alpha = -3$

次に、$a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n - 2$を変形する。特性方程式$x = \frac{1}{3}x - 2$を解くと、$x=-3$。

よって、$a_{n+1} + 3 = \frac{1}{3}(a_n + 3)$

数列$\{a_n + 3\}$は、初項$a_1 + 3 = 3 + 3 = 6$、公比$\frac{1}{3}$の等比数列である。

$a_n + 3 = 6 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$

$a_n = 6 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} - 3$

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (6 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} - 3) = 6 \cdot 0 - 3 = -3$

(2)

数列$\{a_n\}$の極限が存在すると仮定し、$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$とおくと、$\lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \alpha$も成り立つ。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ の両辺で$n\to\infty$とすると、

$\alpha = 3\alpha + 2$

これを解くと、$\alpha = 3\alpha + 2 \implies -2\alpha = 2 \implies \alpha = -1$

次に、$a_{n+1} = 3a_n + 2$を変形する。特性方程式$x = 3x + 2$を解くと、$x=-1$。

よって、$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

数列$\{a_n + 1\}$は、初項$a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比$3$の等比数列である。

$a_n + 1 = 2 \cdot 3^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 1$

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (2 \cdot 3^{n-1} - 1) = \infty$

数列$\{a_n\}$は発散する。

3. 最終的な答え

(1) -3

(2) 発散