定積分 $\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} 3(x^2 - 2x - 2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} 3(x^2 - 2x - 2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$3(x^2 - 2x - 2) = 3x^2 - 6x - 6$

次に、不定積分を計算します。

$\int (3x^2 - 6x - 6) dx = x^3 - 3x^2 - 6x + C$

定積分を計算するために、求めた不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$F(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$ とおくと、求める定積分は $F(1+\sqrt{3}) - F(1-\sqrt{3})$ で求められます。

$1+\sqrt{3} = a$, $1-\sqrt{3} = b$ とおくと、

$F(a) = (1+\sqrt{3})^3 - 3(1+\sqrt{3})^2 - 6(1+\sqrt{3})$

$= (1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}) - 3(1 + 2\sqrt{3} + 3) - 6 - 6\sqrt{3}$

$= 10 + 6\sqrt{3} - 3(4 + 2\sqrt{3}) - 6 - 6\sqrt{3}$

$= 10 + 6\sqrt{3} - 12 - 6\sqrt{3} - 6 - 6\sqrt{3}$

$= -8 - 6\sqrt{3}$

$F(b) = (1-\sqrt{3})^3 - 3(1-\sqrt{3})^2 - 6(1-\sqrt{3})$

$= (1 - 3\sqrt{3} + 9 - 3\sqrt{3}) - 3(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 6 + 6\sqrt{3}$

$= 10 - 6\sqrt{3} - 3(4 - 2\sqrt{3}) - 6 + 6\sqrt{3}$

$= 10 - 6\sqrt{3} - 12 + 6\sqrt{3} - 6 + 6\sqrt{3}$

$= -8 + 6\sqrt{3}$

したがって、

$\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} 3(x^2 - 2x - 2) dx = F(1+\sqrt{3}) - F(1-\sqrt{3})$

$= (-8 - 6\sqrt{3}) - (-8 + 6\sqrt{3}) = -12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$-12\sqrt{3}$