与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。 (1) $(x^2+1)^5 (x^3-2)^3$ (2) $\log(\log x)$ (3) $2^x$ (4) $x^3 (x^2+1)^{3/2}$ (5) $e^{x^2} \sin x \cos x$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。

(1) $(x^2+1)^5 (x^3-2)^3$

(2) $\log(\log x)$

(3) $2^x$

(4) $x^3 (x^2+1)^{3/2}$

(5) $e^{x^2} \sin x \cos x$

2. 解き方の手順

(1) 積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)$

(2) 合成関数の微分法を使います。

(3) 指数関数の微分を使います。

$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$

(4) 積の微分法と合成関数の微分法を使います。

(5) 積の微分法と合成関数の微分法を使います。

(1)

$y = (x^2+1)^5 (x^3-2)^3$

$y' = 5(x^2+1)^4 (2x) (x^3-2)^3 + (x^2+1)^5 3(x^3-2)^2 (3x^2)$

$y' = 10x(x^2+1)^4 (x^3-2)^3 + 9x^2 (x^2+1)^5 (x^3-2)^2$

$y' = x(x^2+1)^4 (x^3-2)^2 [10(x^3-2) + 9x(x^2+1)]$

$y' = x(x^2+1)^4 (x^3-2)^2 [10x^3-20 + 9x^3+9x]$

$y' = x(x^2+1)^4 (x^3-2)^2 (19x^3+9x-20)$

(2)

$y = \log(\log x)$

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

(3)

$y = 2^x$

$y' = 2^x \log 2$

(4)

$y = x^3 (x^2+1)^{3/2}$

$y' = 3x^2 (x^2+1)^{3/2} + x^3 \frac{3}{2} (x^2+1)^{1/2} (2x)$

$y' = 3x^2 (x^2+1)^{3/2} + 3x^4 (x^2+1)^{1/2}$

$y' = 3x^2 (x^2+1)^{1/2} [(x^2+1) + x^2]$

$y' = 3x^2 (x^2+1)^{1/2} (2x^2+1)$

(5)

$y = e^{x^2} \sin x \cos x = \frac{1}{2} e^{x^2} \sin(2x)$

$y' = \frac{1}{2} e^{x^2} (2x) \sin(2x) + \frac{1}{2} e^{x^2} \cos(2x) \cdot 2$

$y' = xe^{x^2} \sin(2x) + e^{x^2} \cos(2x)$

$y' = e^{x^2} (x \sin(2x) + \cos(2x))$

3. 最終的な答え

(1) $x(x^2+1)^4 (x^3-2)^2 (19x^3+9x-20)$

(2) $\frac{1}{x \log x}$

(3) $2^x \log 2$

(4) $3x^2 (x^2+1)^{1/2} (2x^2+1)$

(5) $e^{x^2} (x \sin(2x) + \cos(2x))$