線積分 $\int_C (2x-y+8)dx + (2x+y-8)dy$ を計算する問題です。ここで、$C$は円 $x^2+(y-3)^2=36$ を左回りに一周する経路を表します。

1. 問題の内容

線積分 $\int_C (2x-y+8)dx + (2x+y-8)dy$ を計算する問題です。ここで、$C$は円 $x^2+(y-3)^2=36$ を左回りに一周する経路を表します。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、グリーンの定理を利用します。グリーンの定理とは、領域 $D$ の境界である閉曲線 $C$ に沿った線積分を、領域 $D$ 上の二重積分に変換する定理です。すなわち、

$$\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA$$

ここで、$P = 2x-y+8$、$Q = 2x+y-8$ であり、$C$は円 $x^2+(y-3)^2=36$ です。

まず、偏微分を計算します。

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x-y+8) = -1$$

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x+y-8) = 2$$

したがって、

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - (-1) = 3$$

よって、線積分は次の二重積分に変換されます。

$$\oint_C (2x-y+8)dx + (2x+y-8)dy = \iint_D 3 dA = 3 \iint_D dA$$

ここで、$\iint_D dA$ は領域 $D$ の面積を表します。領域 $D$ は円 $x^2+(y-3)^2=36$ であり、その半径は $r=6$ です。したがって、$D$の面積は $A = \pi r^2 = \pi (6^2) = 36\pi$ となります。

したがって、求める線積分の値は、

$$3 \iint_D dA = 3(36\pi) = 108\pi$$

3. 最終的な答え

$108\pi$