複素関数 $f(z)$ が与えられたとき、$f(z)$ が微分可能かどうかを調べ、微分可能であれば $z = \alpha$ における微分係数 $f'(\alpha)$ を求めます。ただし、$\alpha$ は任意の値です。 与えられた複素関数は次の４つです。 (1) $f(z) = z^4$ (2) $f(z) = |z|^2$ (3) $f(z) = \frac{z}{z^2 + 1}$ (4) $f(z) = (1 + e^{iz})^2$

1. 問題の内容

複素関数 $f(z)$ が与えられたとき、$f(z)$ が微分可能かどうかを調べ、微分可能であれば $z = \alpha$ における微分係数 $f'(\alpha)$ を求めます。ただし、$\alpha$ は任意の値です。

与えられた複素関数は次の４つです。

(1) $f(z) = z^4$

(2) $f(z) = |z|^2$

(3) $f(z) = \frac{z}{z^2 + 1}$

(4) $f(z) = (1 + e^{iz})^2$

2. 解き方の手順

(1) $f(z) = z^4$ の場合

$f(z)$ は $z$ の多項式なので、複素平面全体で微分可能です。

$f'(z) = 4z^3$

よって、$f'(\alpha) = 4\alpha^3$

(2) $f(z) = |z|^2$ の場合

$z = x + iy$ とすると、$f(z) = x^2 + y^2$ となります。

$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ と表すと、$u(x, y) = x^2 + y^2$ であり、$v(x, y) = 0$ です。

コーシー・リーマンの方程式は次のようになります。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ および $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$, $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

コーシー・リーマンの方程式を満たすのは $2x = 0$ かつ $2y = 0$ のときのみ、つまり $x = 0$ かつ $y = 0$ のときのみです。

したがって、$f(z)$ は $z = 0$ でのみ微分可能であり、それ以外では微分不可能です。

$z=0$で微分可能なので、

$f'(0) = \lim_{z \to 0} \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} = \lim_{z \to 0} \frac{|z|^2}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{z\overline{z}}{z} = \lim_{z \to 0} \overline{z} = 0$

$f'(\alpha)$ を求めるとすれば、$\alpha = 0$ の場合に限り $f'(0) = 0$

(3) $f(z) = \frac{z}{z^2 + 1}$ の場合

$f(z)$ は有理関数であり、$z^2 + 1 = 0$ となる点 $z = \pm i$ 以外では微分可能です。

$f'(z) = \frac{(z^2 + 1) - z(2z)}{(z^2 + 1)^2} = \frac{1 - z^2}{(z^2 + 1)^2}$

よって、$f'(\alpha) = \frac{1 - \alpha^2}{(\alpha^2 + 1)^2}$ (ただし、$\alpha \neq \pm i$)

(4) $f(z) = (1 + e^{iz})^2$ の場合

$f(z)$ は指数関数を含む関数ですが、$e^{iz}$ は複素平面全体で微分可能なので、$f(z)$ も複素平面全体で微分可能です。

$f'(z) = 2(1 + e^{iz}) (e^{iz} \cdot i) = 2i (1 + e^{iz}) e^{iz}$

よって、$f'(\alpha) = 2i (1 + e^{i\alpha}) e^{i\alpha}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(\alpha) = 4\alpha^3$

(2) $f'(\alpha) = 0$ ($\alpha=0$の場合のみ微分可能)

(3) $f'(\alpha) = \frac{1 - \alpha^2}{(\alpha^2 + 1)^2}$ (ただし、$\alpha \neq \pm i$)

(4) $f'(\alpha) = 2i (1 + e^{i\alpha}) e^{i\alpha}$