定積分 $\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} 3(x^2 - 2x - 2) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} 3(x^2 - 2x - 2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$3(x^2 - 2x - 2) = 3x^2 - 6x - 6$

次に、この関数を積分します。

$\int (3x^2 - 6x - 6) dx = x^3 - 3x^2 - 6x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

定積分を計算するために、積分結果に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

積分区間の上限は$1+\sqrt{3}$、下限は$1-\sqrt{3}$です。

$F(x) = x^3 - 3x^2 - 6x$とします。

$F(1+\sqrt{3}) = (1+\sqrt{3})^3 - 3(1+\sqrt{3})^2 - 6(1+\sqrt{3}) = (1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3}) - 3(1 + 2\sqrt{3} + 3) - 6 - 6\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3} - 12 - 6\sqrt{3} - 6 - 6\sqrt{3} = -8 - 6\sqrt{3}$

$F(1-\sqrt{3}) = (1-\sqrt{3})^3 - 3(1-\sqrt{3})^2 - 6(1-\sqrt{3}) = (1 - 3\sqrt{3} + 9 - 3\sqrt{3}) - 3(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 6 + 6\sqrt{3} = 10 - 6\sqrt{3} - 12 + 6\sqrt{3} - 6 + 6\sqrt{3} = -8 + 6\sqrt{3}$

したがって、定積分の値は、

$F(1+\sqrt{3}) - F(1-\sqrt{3}) = (-8 - 6\sqrt{3}) - (-8 + 6\sqrt{3}) = -8 - 6\sqrt{3} + 8 - 6\sqrt{3} = -12\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$-12\sqrt{3}$